错排问题的简便计算公式及其证明

解决错排问题的关键在于找到简便计算公式。当n封信投入n个编号不同的信箱，且要求每个信箱信件编号不对应时，总的投递方式数量可以用公式表示：

[公式]

这个结论的证明通常可以在相关资源中找到，例如知乎上就有详细的解答。这个公式看起来眼熟，因为它与Taylor展开式有关。当n趋向于无穷大时，[公式] 描述了极限情况下的错排数。然而，对于有限的n值，直接应用这个极限可能并不准确，需要一个精确的方法来计算。

实际上，对于任何正整数n，计算[公式]的值并进行四舍五入，就能得到错排数的精确值。这是因为四舍五入过程确保了小数部分的调整不会超过一个特定阈值。具体来说：

当[公式]的小数部分在[公式]和[公式]之间时，只需调整一个不足[公式]的数；如果等于[公式]，则加上[公式]；小于[公式]时，减去一个不足[公式]的数。这意味着[公式]与四舍五入结果之间的绝对差必须小于[公式]，且当差等于[公式]时，必须有额外的限制条件。

通过数学分析，我们发现绝对值差[公式]确实严格小于[公式]，因此，四舍五入的精确性得到了保证。总结来说，公式[公式]四舍五入后的结果就是错排问题的确切答案。