报童问题及其求解

报童模型作为库存管理中的基础模型，在随机规划领域具有典型意义。本文将介绍报童模型的基本概念及其求解方法。

报童问题，即新闻贩子问题（NewsVendor Problem，NVP），描述了一个报童每天批发报纸并销售的情况。若批发数量不足，利润减少；若过多，则面临亏损。如何确定批发数量以最小化损失，是报童需要考虑的问题。需求的不确定性要求我们引入概率进行描述。

基于上述背景，我们可以建立一个数学模型。零售商在一个周期内销售某种货物，该货物具有时效性，过期后价值丧失。为了最小化脱销和滞销损失，零售商需根据需求量分布制定进货计划。

以下记号约定：所有运算都是有意义的，如积分、求导、反函数等。进货量为[公式]，损失函数为[公式]。我们的目标是求这个函数的最小值，其中[公式]。

上述期望公式用密度函数表示为[公式]，然后对其求两次导数。这表明[公式]是凸函数，全局极小值在[公式]处取得，进而解得[公式]。反解出[公式]，基础的报童模型求解完成。

在需求建模方面，Poisson过程常用于描述服务系统在一段时间内服务的顾客数量。在本报童模型中，由于只有一个决策阶段，我们只需使用Poisson分布。然而，由于Poisson分布不是连续分布，逆解可能不存在。为了方便处理，我们常使用正态分布逼近Poisson分布，因为正态分布是连续分布，分布函数容易求逆。

数值实现方面，最后的解是一个分位数点，可查分位数表或使用现有程序计算，如Matlab算例。结果为56.6040，与书上一致。