什么叫正交变换

在线性代数中，正交变换是特定的线性变换，它从实内积空间V映射至V自身，保持变换前后内积不变。具体而言，正交变换x=Py，其中矩阵P为正交矩阵，即其列(行)向量两两正交且长度为1。满足条件P^TP=PP^T=E，等价于P的逆矩阵P^(-1)=P^T。

正交变换具有一些显著作用。首先，它能够简化二次型的表示。在二次型中，我们寻求一个可逆矩阵C，通过变换x=Cy，使二次型f=x^TAx转化为标准型y^T(C^TAC)y，即通过C^TAC成为对角阵，从而简化二次型的分析。

其次，正交变换在研究图形几何性质上发挥关键作用。由于正交变换保持向量长度和内积不变，因而保持了两向量间的夹角和正交性不变。这意味着，施加正交变换后，图形的几何形状不发生变化。通过正交变换，可以有效地研究图形的几何性质，揭示其内在结构和特性。