手把手把摆线从参数方程化为轨迹方程！！！

前言

摆线作为圆在定直线上滚动时，圆周上某点的轨迹，其参数方程易于推导，但将之转化为轨迹方程的步骤往往令人困惑。本文旨在详细解析这一过程，帮助读者清晰掌握从参数方程到轨迹方程的转换方法。

问题引入

考察自行车匀速直线滚动时，车轮上某点A的轨迹方程。

参数方程推导

设车轮转过的角度为θ，运动时间为t，则点A满足以下关系：

x = vt + rcosθ

y = rsinθ

其中，v是车轮的线速度，r是车轮的半径。此即A点的参数方程。

轨迹方程推导

消除参数θ，化为轨迹方程。

由x = vt + rcosθ得θ = arccos[(x - vt) / r]

代入y = rsinθ，得轨迹方程为：

y = r√[1 - ((x - vt) / r)^2]

讨论θ的正负，简化后得到轨迹方程。

验证：图示中，红色虚线表示参数方程，蓝色、黑色实线表示轨迹方程。当k取全体整数时，实线与虚线完全重合，验证无误。

摆线轨迹与车轮速度无关，不论车速如何，点A都会遵循该轨迹移动。

声明

本文推导过程及插图均属原创。如有任何谬误或不当之处，欢迎在评论区指正，衷心感谢！