为什么向量混合积等于三个向量排成的行列式？

是三个向量的混合积为零；

abc＝（aXb）·c；

两个向量a，b叉乘，得到第三个向量d，则d垂直a、b所构成平面；

所以c与a、b共面的话，则c垂直d点乘为零，即abc＝0．

有向量a，b，c，根据混合积的几何意义可知｜（a×b）·c｜是以｜a｜，｜b｜，｜c｜为棱的平行六面体体积．

既然行列式为0，说明体积为0．体积为0可以理解成是高为0，高为0那麼就说明是平面图形，abc共面．

当共面的时候a×b是与abc所在平面垂直的，那麼a×b与c垂直，所以点乘为0。

从而混合积（a，b，c）的符号是正还是负取决于∠（a×b，c）是锐角还是钝角，即a×b与c是指向a。

b所在平面的同侧还是异侧，这相当于a，b，c三个向量依序构成右手系还是左手系”，而混合积（a，b，c）就是一个三阶行列式。

扩展资料

举例：

已知以ABC三个向量为棱的平行六面体，怎么算它的体积？向量混合积不会算，知道V平行六面体＝ABC三个向量积的，行列式：

解：

用向量混合积算．体积V＝A点乘（B叉乘C）。

设A＝（A1，A2，A3）B＝（B1，B2，B3）C＝（C1，C2，C3）。

V＝｜ABC｜＝A1B2C2＋A2B3C1＋A3B1C2－C1B2A3－A2B1C3－A1B3C2。

3×3行列式“＼”方向的数相乘相加减去“／”方向的数相乘相减。