群论的基本概念

群论是数学中描述自然界对称性的核心工具，其概念在19世纪的数学发展史上占有重要地位。本文将逐步深入介绍群论的基本概念与性质。

群的基本概念

群是一个集合加上一个二元运算，满足四个公理：闭合性、结合律、单位元存在性与逆元存在性。闭合性意味着集合内任意两个元素的运算结果仍在集合内。结合律团漏则表示运算的结合方式不改变结果。单位元是集合内唯一一个与任何元素结合后保持该元素不变的元素。逆元则是每个元素在集合内存在一个与其对应的元素，它们结合后的结果为单位元。

简单例子如G1 = {e}，是最简单的平凡群，而G2 = {e, a} 是最简单的非平凡群，a的逆元为自身，且a^2 = e。循环群G3 = {e, a, b} 中a与b的乘积为单位元，且满足特定关系，如a^2 = b, b^2 = a, a^3 = e，这类群被称为循环群。

定义与性质

若群内的元素在运算下满足交换律（ab = ba），则称为阿贝尔群。有限元素群的阶由群内元素数量定义。元素a的阶为最小的正整数n，使得a^n = e。

实数集在加法运算下构成一个加法群，非零实数集在乘法运算下构成一个乘法群，n×n 非奇异矩阵集在矩阵乘法运算下构成一个矩阵群。

子群与重排定理

最简单的非阿贝尔群是阶者或孝为6的群，有循环群与非阿贝尔群两种构成方式，如D3群，包含对称旋转操作。阶为6的群S3由数{1,2,3}的排列组成，定义了六个群元素。

群的子集在相同的运算下构成群时，称为子群。所有群的子群中，一定包含只有一个单位元的子群G1以及整个群G本身。对于真子群，如G42或S3的子群。

重排定理表明，对于群G中的任意元素g，gG = G = gG，即任意排列后仍能构成群的元素集。

共轭集与陪集

群元素可分为共轭集与陪集。共轭集由满足一定关系的群元素组成，如G中的元素gi与gj共轭，存在g∈G使得gi = gggjg^(-1)。陪集是子集在群作用下的集合，如H1={e, a}的左陪集为bH1。陪集相等定理指出，子集的两个左陪集要么完全相同，要么完全不同。

拉格朗日定理指出，有限群的首稿阶必定是子集阶的整数倍。不变子群定义为满足H=gHg^(-1)的子群，且包含群G中的完整共轭集。

同态与同构

从群G映射到群G′且保留乘法法则的映射称为同态，一一对映的称为同构。例如，G与{e}同态，G62群的同态映射示例。

不变子群同态定理指出，若存在同态映射f:G→G′，则核心集合H是不变子群，且商群G/H与群G′同构。

凯利定理指出，任意n阶群同构于子群Sn。直积群则表示由更小群相乘得到的群结构。

总结，群论提供了一种系统描述对称性的数学工具，其基本概念包括群、阿贝尔群、有限群阶、循环群、子群、共轭集、陪集、不变子群、同态与同构等。通过这些概念，我们可以深入研究群的结构与性质，以及群在不同数学与物理领域中的应用。