求偏导数，求相细步骤及所用公式，及时采纳

1. 求函数F(x,y) = 1/(π^2) * (π/2 + arctan(x)) * (π/2 + arctan(2y))关于x的偏导数aF/ax。

结果为：1/(π^2) * (π/2 + arctan(x))' * (π/2 + arctan(2y)) + 1/(π^2) * (π/2 + arctan(x)) * (π/2 + arctan(2y))'.

其中，(π/2 + arctan(x))' = 1/(1 + x^2) 和 (π/2 + arctan(2y))' = 2/(1 + 4y^2)。

2. 进一步求函数F(x,y)关于x和y的偏导数a^2F/axay。

结果为：a(aF/ax)/ay = 1/π^2 * 1/(1 + x^2) * (π/2 + arctan(2y)) / y.

由于除以y，只需对第二项求偏导，得到 (π/2 + arctan(2y))' = 2/(1 + 4y^2)。

3. 最终求得a^2F/axay的值为：2/π^2 * 1/(1 + x^2) * 1/(1 + 4y^2)。