似然函数及最大似然估计及似然比检验

似然函数在统计学中扮演着关键角色，它测量了给定参数θ下观测数据x出现的概率。与概率不同，似然性是针对已知结果估计参数的工具。对数似然函数因其计算上的便利性，常用于最大似然估计，特别是处理复杂的优化问题。

以Gamma分布为例，通过取对数似然函数的形式，极大化求解参数的估计问题变得更加直观。最大似然估计的核心思想是根据样本数据找到使似然函数（概率密度或质量函数）取最大值的θ，这代表了最可能的参数估计。

似然比检验则是一种统计检验方法，通过比较复杂模型和简单模型的似然函数在特定参数条件下的变化，来判断附加假设的合理性。尼曼-皮尔森引理表明，似然比检验在统计效力上具有优越性。在检验时，仅依赖于样本值，通过计算似然比的统计量G，可以利用卡方分布进行判断，尤其在样本量较大时，这种方法更为常用。