余弦定理证明方法

余弦定理的证明方法有以下两种：

方法一

在锐角三角形ABC中，作AD⊥BC于D，则BD+CD=a。由勾股定理得：c^2=（AD）^2+（BD）^2，（AD）^2=b^2-（CD）^2。所以，c^2=（a-CD）^2-（CD）^2+b^2=a^2+b^2-2a×CD。

在任意△ABC中，作AD⊥BC。∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a，BD=cosB×c，AD=sinB×c，DC=BC-BD=a-cosB×c。

勾股定理可知：AC^2=AD^2+DC^2。b^2=（sinB×c）^2+（a-cosB×c）^2。b^2=（sin²B+cos²B）×c²-2ac×cosB+a²。b²=c²+a²-2ac×cosB。

方法二

用直角坐标系的中距离公式，可以推导得出余弦定理。以点A为原点，以AB所在直线为x轴，则三点的坐标如下：A（0，0），B（c，0），C（x，y）。根据勾股定理，可以得到AC^2=x^2+y^2，AB^2=c^2+y^2，BC^2=（x-c）^2+y^2。

余弦定理的公式是c²=a²+b²-2ab×cosC，将上述坐标代入此公式，可以得到等式：x²+y²=（c²+y²）+（x-c）²+y²-2c（x-c）。化简后得到x²+y²=c²+x²+y²-2cx+2cy-c²。

再次化简后得到c²=2cx-2cy+a²。用同样的方法可以得到另外两条边的等式：b²=a²+c²-2ac×cosB和a²=b²+c²-2bc×cosA。 

余弦定理的概念、公式含义及定理应用

概念

余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

公式含义

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

定理应用

余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下三种需求：

1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

3、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。