初中数学几何最值问题之“胡不归”问题

【问题背景】

在数学几何中，"PA+k·PB"型的最值问题成为了近年中考的热点与难点。当k值等于1时，问题转化为"PA+PB"之和最短，可通过"饮马问题"模型解决，即转化为轴对称问题。然而，当k为任意非1正数时，常规轴对称思路无法应用，需要寻找新的解题策略。

处理此类问题时，通常需要根据点P运动的轨迹分类，一般分为两类：点P在直线上运动与点P在圆上运动。其中，点P在直线上运动称为"胡不归"问题；点P在圆周上运动则被称为"阿氏圆"问题。本文将深入探讨"胡不归"问题的解决方法。

【知识储备】

解决线段最值问题时，常用到以下原理：

1. 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2. 两点间线段最短。

3. 连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

【数学故事】

从前，一位学徒在外地学习，得知父亲病危，便赶回家。因急于回家，他仅考虑两点间线段最短原则，选择了一条直线路线，却忽略了折线虽然路程长但速度快的事实。当他气喘吁吁赶到家时，父亲已经离世。邻居告诉他，父亲临终前反复念叨着"胡不归？胡不归？"，这就是流传千年的"胡不归问题"。

【模型初探】

当点P在直线上运动时，即"胡不归"问题。已知sin∠MBN=k，点P为角∠MBN的边BM上的动点，点A位于射线BM、BN同侧，连接AP。当"PA+k·PB"的值最小时，P点位置如何确定？

分析：关键在于确定"k·PB"的大小。过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PQ。因此，问题转化为求"PA+PQ"的最小值，即当A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3所示）。问题解决。

思考：当k大于1时，如何转化求解"PA+k·PB"的线段和问题？答案是提取系数k即可。

【模型总结】

"胡不归"构造 某角正弦值等于小于1系数

过起点构造所需角（k=sin ∠ CAE）

过终点作所构角边的垂线

利用垂线段最短解决问题

【举例分析】

四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°。M为对角线BD（不含B点）上任意一点，求AM+1/2BM的最小值。

分析：将1/2BM转化为其他线段，即k为1/2，需转化为某一角的正弦值。

思考后发现，作MN垂直于BC，则MN=1/2BM，因此AM+1/2BM最小转化为AM+MN最小，问题解决。

【变式思考】

(1)若要求"2AM+BM"的最小值，你会如何解答？

(2)若要求"AM+BM+CM"的最小值，又会如何求解？

【中考真题】