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柯西留数定理如何求积分？
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柯西留数定理是复分析中用于计算闭合路径上复函数积分的一个强大工具。它通过计算路径内奇点的留数来简化积分的计算。
为了应用柯西留数定理，需要满足以下几个条件：
函数
𝑓
(
𝑧
)
f(z)在闭合路径
𝛾
γ内部及其上连续。
函数
𝑓
(
𝑧
)
f(z)在
𝛾
γ内部的所有奇点上都有定义的留数。
留数是复分析中的一个概念，指的是一个复函数在其奇点附近的洛朗展开中
𝑐
−
1
c
−1
项的系数。对于简单极点，留数可以通过以下公式计算：
Res
(
𝑓
,
𝑎
)
=
lim
𝑧
→
𝑎
(
𝑧
−
𝑎
)
𝑓
(
𝑧
)
Res(f,a)=
z→a
lim
(z−a)f(z)
柯西留数定理表明，如果
𝑓
(
𝑧
)
f(z)在闭合路径
𝛾
γ内部有有限个奇点，那么沿着
𝛾
γ的积分可以表示为：
𝑖
𝑛
𝑡
𝛾
𝑓
(
𝑧
)
𝑑
𝑧
=
2
𝑝
𝑖
𝑖
∑
Res
(
𝑓
,
𝑎
𝑘
)
int
γ
f(z)dz=2pii∑Res(f,a
k
)
其中
𝑎
𝑘
a
k
是
𝛾
γ内部的第
𝑘
k个奇点，求和是对所有这样的奇点进行。
具体步骤如下：
确定积分路径
𝛾
γ内部的所有必要奇点。
计算每个奇点的留数。
将所有奇点的留数相加，并乘以
2
𝜋
𝑖
2πi得到积分的值。
例如，考虑积分：
𝑖
𝑛
𝑡
∣
𝑧
∣
=
1
𝑒
𝑧
𝑧
𝑑
𝑧
int
∣z∣=1
z
e
z
dz
这里，
𝑓
(
𝑧
)
=
𝑒
𝑧
𝑧
f(z)=
z
e
z
在
𝑧
=
z=0有一个一阶极点。计算留数：
Res
(
𝑓
,
)
=
lim
𝑧
→
𝑧
⋅
𝑒
𝑧
𝑧
=
lim
𝑧
→
𝑒
𝑧
=
𝑒
=
1
Res(f,0)=
z→0
lim
z⋅
z
e
z
=
z→0
lim
e
z
=e
=1
因此，积分的值为：
∫
∣
𝑧
∣
=
1
𝑒
𝑧
𝑧
𝑑
𝑧
=
2
𝜋
𝑖
⋅
1
=
2
𝜋
𝑖
∫
∣z∣=1
z
e
z
dz=2πi⋅1=2πi
这就是柯西留数定理如何应用于计算闭合路径上的复函数积分。它是一种强大的技术，因为它允许我们将复杂的积分问题转化为寻找奇点留数的问题，这通常更容易解决。
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