数学算法：Prime sieve 素数筛

喵喵课堂来啦！今天咱们聊聊数学世界里的小秘密——素数筛。想象一下，像达·芬奇仰望天空一样，我们探索素数的无限奥秘。

你知道吗？素数筛法，就像寻找天空中的星星，是个既古老又迷人的挑战。比如著名的梅森素数竞赛，那个神奇的2024年大奖，就是找到了一个长达2098960位的超级大素数，长到令人咋舌！但发现它的英雄甚至不清楚素数的定义，只是简单地运行了一个程序，这就是数学的魅力所在。

了解素数的基础很重要，比如质数就是只能被1和自身整除的正整数。1虽然不在这行列，但2是我们的小守护者，是唯一的偶数质数。掌握了质数的定义，就能判断一个数是好朋友还是陌生人。

接着是欧几里得的贡献，他告诉我们质数的家族是无穷的。我们用反证法来证明，如果质数数量有限，就引出了矛盾。这就像数学世界的奇迹，不断激发我们探索更多。

质数分布定理是素数筛法的得力助手。它告诉我们，素数在大范围内的分布规律，让我们在筛选素数时，知道怎么聪明地控制存储空间。比如，要找1到50000000的素数，我们不需要那么大空间，只需用到质数分布定理的估算。

算数基本定理就像数学界的基石，告诉我们每个大数都能分解成质数的乘积，看似简单，却隐藏着深奥的数学逻辑。它衍生出的推论，让我们理解了约数、和的计算方式。

至于判断素数，我们从2开始遍历，但聪明的算法利用质因数分解，将复杂度从[公式] 降低到[公式]。这就是Eratosthenes筛选法，它巧妙地利用已知质数生成合数，大大提高了效率。

不过，Eratosthenes筛法仍有重复标记的问题，这就是线性筛法出场的时刻。线性筛法通过找到每个数的最小质因子，将标记次数降至最低，时间复杂度达到了[公式]。尽管实现起来有点复杂，但线性筛法是筛选素数的高效工具。

最后，喵喵给大家梳理一下：今天讲述了质数筛法的原理、Eratosthenes和线性筛法，以及它们各自的特点。别忘了，实践是检验真理的唯一标准，去试试手头的练习题，加深理解吧！下期见，喵喵期待你的进步！