组合数求和等于2 ^n 不用二项式定理怎么证

可对n用数学归纳法证明之：

（1）当n=0, 1时,结论显然成立（可以自己验证）

C(0,0) = 1 = 2^0, C(1,0) + C(1,1) = 2 = 2^1

（2）假设当n = k时，结论成立

即有C(k,0) + C(k,1) + C(k,2) + ... + C(k,k-1) + C(k,k) = 2^k

（3）当n=k+1时，

由归纳假设，

并由结论C(n,m)= C(n-1,m-1)+C(n-1,m) （可以直接展开证明）

C(k+1,0) + C(k+1,1) + C(k+1,2) + ... + C(k+1,k) + C(k+1,k+1)

=C(k+1,0) + [C(k,0) + C(k,1)] + [C(k,1)+C(k,2)] + ... + [C(k,k-1) + C(k,k)] + C(k+1,k+1)

(将中括号中左边的组合数分为一组，右边的分为令一组)

=C(k+1,0) + [C(k,0) + C(k,1) + C(k,2) + ... + C(k,k-1)] + [C(k,1) + C(k,2) + ... + C(k,k)] + C(k+1,k+1)

（显然C(k+1,0)=C(k,0),凑入右边中括号中 C(k+1,k+1)=C(k,k)凑入左边中括号中，可得下式）

= [C(k,0) + C(k,1) + C(k,2) + ... + C(k,k-1) + C(k,k)] + [C(k,0) + C(k,1) + C(k,2) + ... + C(k,k)]

（再由归纳假设）

=2^k + 2^k

=2^(k+1)

∴当n=k+1时，结论仍然成立

综上，由（1）（2）（3），根据数学归纳法，可知结论对于任意n∈N成立

即结论“C（n，r）r从0到n的和等于2^n”成立

证毕

以上是我简单的解法，若有问题的话可以指出。