错位相减为什么叫错位相减法？

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。　　

　例如，求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

　当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；

　当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

　∴xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2;+x^3;+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；

　化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2

　Sn=

1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

　两边同时乘以1/2

　1/2Sn=

1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）

　两式相减

　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

　Sn=1-1/2^n

　错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：

　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan

（1）

　在（1）的左右两边同时乘上a。

得到等式（2）如下：

　aS=

a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1

（2）

　用（1）—（2），得到等式（3）如下：

　（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1

（3）

　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

　S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。

　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。

　例子:求和Sn=3x+5x^2;+7x^3;+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）

　解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n^2;;

　当x不等于1时，Sn=3x+5x^2;+7x^3;;+……..+(2n-1)·x的n-1次方

　所以xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方

　所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x^2;;＋x^3;;＋...+x的n-2次方)－（2n-1）·x的n次方。

　化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方

－（2n+1）·x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方

　Cn=(2n+1)*2^n

　Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n

　2Sn=

3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)

　两式相减得

　-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)

　=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)

　=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1)

(等比数列求和)

　=(1-2n)*2^(n+1)-2

　所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2

　错位相减法

　这个在求等比数列求和公式时就用了

　Sn=

1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

　两边同时乘以1/2

　1/2Sn=

1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）

　两式相减

　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

　Sn=1-1/2^n