高中·对数函数的公式

定义：

　若a^n=b(a>0且a≠1)

　则n=log(a)(b)

　基本性质：

　1、a^(log(a)(b))=b

　2、log(a)(a^b)=b

　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

　推导

　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

　2、因为a^b=a^b

　令t=a^b

　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

　3、MN=M×N

　由基本性质1(换掉M和N)

　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)

　由指数的性质

　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定

　又因为指数函数是单调函数，所以

　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

　4、与（3）类似处理

　MN=M÷N

　由基本性质1(换掉M和N)

　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

　由指数的性质

　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

　又因为指数函数是单调函数，所以

　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

　5、与（3）类似处理

　M^n=M^n

　由基本性质1(换掉M)

　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

　由指数的性质

　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

　又因为指数函数是单调函数，所以

　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　基本性质4推广

　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

　推导如下：

　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]

　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

　换底公式的推导：

　设e^x=b^m,e^y=a^n

　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

　x=ln(b^m),y=ln(a^n)

　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

　由基本性质4可得

　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

　再由换底公式

　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]