积分第一中值定理

      如果函数（x）在闭区间[a,b] 上连续，g(x) 在[a,b]上不变号，并且在闭区间[a,b]上是可积的，则在[a,b] 上至少存在一个点ε,使下式成立：

证明：

由于g(x)在[a,b]上不变号，不妨设g(x)>=0。并且由f(x) 在[a,b] 上的连续性可知，

 f(x)在[a,b]上存在最大值M和最小值m，使得

 ，将不等式两边同时乘以g(x)，得到：

,对上式在[a,b]上 取积分得

若

 ，上式等号成立，

 ，定理显然成立。

若

 ，不等式两边同除以

 ，有

由介值定理，存在ε属于[a,b]

 ，使得

 ，即

。定理得证。