高等数学八：（5）高斯公式与斯托克斯公式

探讨高斯公式与斯托克斯公式在计算空间积分中的应用

在计算涉及封闭曲面的第二型曲面积分时，高斯公式提供了一种更为直观和简便的途径。对于给定的空间区域，如果其边界是分片光滑的封闭曲面，并且函数在该区域内有一阶连续偏导数，则高斯公式能有效地简化计算。公式如下：

其中，符号“∇”表示散度，而“∫”表示积分，上标“out”表示外侧积分。

在实际应用中，如题目中给定的函数在边界曲面内存在不连续偏导数，则可以通过围绕该点构造新的封闭曲面，将积分区域扩展，以确保积分区域的封闭性。

进一步地，通过定义向量函数，高斯公式可以转化为散度的形式，如下所示：

这表明，闭曲面的通量等于其散度在所包围区域的三重积分。

斯托克斯公式则将第二型空间曲线积分转化为第二型曲面积分。对于闭合曲线和其分片光滑的双侧曲面，斯托克斯公式提供了曲线积分与曲面积分的等价关系。公式为：

其中，“curl”表示旋度，表示定向与曲面法向量指向构成右手系。

当曲线恰好位于曲面平面上时，斯托克斯公式简化为格林公式，即格林公式是斯托克斯公式的特例。这表明在平面区域内的积分问题可以通过斯托克斯公式简化为更直观的曲线积分。

总结而言，高斯公式与斯托克斯公式在解决复杂的空间积分问题时提供了强大的工具，简化了计算过程，尤其在处理与曲面和空间区域相关的积分问题时。