微积分（对数函数、指数函数及反函数）

指数函数与对数函数的性质紧密相连，它们互为反函数。假设底数相同，则对数函数的值实际上就是指数函数的幂次。例如，设有一个反函数对，如 f(x) = 1/2x 和 g(x) = 2x。则有 f(g(x)) = x。这说明，底数相同的情况下，对数函数的值等于原始数值的幂次。

再比如，假设有方程 2^x = 8，可以通过取对数来解。在本例中，我们取以2为底的对数，即 log2(2^x) = log2(8)。根据对数的性质，x乘以对数的底数等于对数的值，所以有x*log2(2) = log2(8)。因为log2(2) = 1，方程简化为x = log2(8)。因为2的3次方等于8，所以x = 3。

对数函数有许多基本法则，其中两条最为重要。首先，对数函数的加法规则表明：如果底数相同，那么 log_b(a*b) = log_b(a) + log_b(b)。其次，对数函数的乘法规则表明：log_b(a^n) = n*log_b(a)。这些规则在求解对数方程时非常有用。

在应用这些法则时，需要注意条件。例如，对于方程 log_b(a) = c，只有当底数 b 大于1时，方程才成立。对于方程 log_b(a) + log_b(c) = d，同样要求底数 b 大于1。

最后，对数函数还有一组法则用来处理更复杂的运算。例如，对数函数的除法规则表明：log_b(a/c) = log_b(a) - log_b(c)。而对数函数的指数法则则表明：log_b(a^n) = n*log_b(a)。这些法则在处理对数函数的复合运算时非常有用。