如何使用二分法求零点？

二分法是一种在连续函数上寻找根（零点）的数值方法。这种方法的基本思想是，如果函数

𝑓

(

𝑥

)

f(x)在区间

[

𝑎

,

𝑏

]

[a,b]上连续，并且在端点上取值异号，即

𝑓

(

𝑎

)

⋅

𝑓

(

𝑏

)

<

f(a)⋅f(b)<0，那么根据介值定理，函数在区间

(

𝑎

,

𝑏

)

(a,b)内至少存在一个根。二分法通过不断缩小搜索区间来逼近这个根。

以下是使用二分法求零点的步骤：

选择初始区间：选择两个点

𝑎

a和

𝑏

b，使得

𝑓

(

𝑎

)

𝑐

𝑑

𝑜

𝑡

𝑓

(

𝑏

)

<

f(a)cdotf(b)<0，即函数在这两点上的值有不同的符号。

计算中点：计算区间

[

𝑎

,

𝑏

]

[a,b]的中点

𝑐

=

𝑎

+

𝑏

2

c=

2

a+b

​

。

检查函数值：计算

𝑓

(

𝑐

)

f(c)的值。

判断根的位置：

如果

𝑓

(

𝑐

)

=

f(c)=0，则

𝑐

c就是所求的根。

如果

𝑓

(

𝑐

)

⋅

𝑓

(

𝑎

)

<

f(c)⋅f(a)<0，则根位于区间

(

𝑎

,

𝑐

)

(a,c)内，此时更新

𝑏

=

𝑐

b=c。

如果

𝑓

(

𝑐

)

⋅

𝑓

(

𝑏

)

<

f(c)⋅f(b)<0，则根位于区间

(

𝑐

,

𝑏

)

(c,b)内，此时更新

𝑎

=

𝑐

a=c。

迭代：重复步骤2到步骤4，直到满足预定的精度要求。通常，当区间的长度小于某个预设的正数

𝜖

ϵ时，就可以停止迭代，此时区间的任意一点都可以作为根的近似值。

终止条件：当区间长度小于

𝜖

ϵ时，可以认为找到了足够接近真实根的近似值。此时，可以选择区间的任意一点，或者中点

𝑐

c作为根的近似值。

二分法的优点在于其简单性和稳健性，它不需要函数的导数信息，只依赖于函数值的符号变化。此外，二分法具有收敛性，每次迭代后，区间的长度减半，因此它能够以指数速度逼近真实的根。

需要注意的是，二分法只能找到区间内的单个根，如果区间内存在多个根，那么二分法可能无法找到所有的根。此外，如果函数在区间端点上的值没有异号，即

𝑓

(

𝑎

)

⋅

𝑓

(

𝑏

)

≥

f(a)⋅f(b)≥0，那么不能保证区间内存在根，二分法在这种情况下可能不适用。

总结来说，二分法是一种有效的数值方法，用于在连续函数上寻找根。通过不断地缩小包含根的区间，二分法能够提供一个近似的根，并且可以根据需要调整精度。