函数零点的定义，运用二分法求函数零点区间

函数零点的概念

函数y＝f(x)，x∈D的零点定义为使f(x)＝0的实数x。零点属于实数范畴，而非坐标点，它为方程f(x)＝0的实根，并且必然位于函数的定义域内。

函数零点的性质

(1) 当函数图像通过零点并穿越x轴时，函数值会发生变号；

(2) 两个函数将x轴分为三个区间，在各区间内，所有函数值保持不变。

函数零点的求法

(1) 代数法：求解方程f(x)＝0的实数根；

(2) 几何法：对于无法通过求根公式解决的方程f(x)＝0，可将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴交点的横坐标即为函数零点。

函数零点与方程根的联系

函数y＝f(x)的零点即是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)图像与x轴的横坐标。因此，方程f(x)＝0存在实根等价于函数y＝f(x)图像与x轴有交点，亦即函数f(x)有零点。

零点存在性定理

(1) 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，并且f(a)f(b)<0，意味着在区间两端的函数值异号，则函数y＝f(x)在区间（a，b）中必存在零点；

(2) 零点分为变号零点与不变号零点，前者函数图像通过零点时穿过x轴，后者则没有穿过x轴。

函数零点判断与求法的注意事项

(1) 函数y＝f(x)在区间（a，b）内有零点的两个条件：函数图像连续不断且f(a)f(b)<0；

(2) 若函数在闭区间[a，b]上零点存在，不一定能推出f(a)·f(b)<0，这只能是充分不必要条件，只有当函数图像通过零点时函数值才会变号；

(3) 零点存在性定理只能判断零点存在性，但不能确定零点的个数，若函数在某区间内为单调函数，则该区间内至多有一个零点。

二次函数图象与零点的关系

二次函数f(x)的零点个数等同于一元二次方程ax²+bx+c=0实根个数的判断，通常通过判别式Δ的值完成。

二分法求函数零点的近似值

(1) 定义：对于在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断将函数f(x)零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近，最终得到零点近似值的方法称为二分法。

(2) 二分法求零点的一般步骤：估计零点所在初始区间[m,n]，计算区间的中点c并计算f(c)，依据f(c)的正负确定下一个估计区间，直至达到精确度要求。

实例解析

已知实数a，b满足2a=3,3b=2，则函数f(x)=ax+x-b的零点所在区间是(　　)

解析：选B　根据条件，a>1,0

函数f(x)=ln x-x²的零点所在的大致范围是(　　)

解析：选B　f(x)为增函数，f(2)0，f(2)·f(3)<0，故零点位于(2,3)区间内。

函数f(x)=e^x+3x的零点个数为(　　)

解析：选B　f(x)在R上单调递增，f(-1)0，f(-1)·f(0)<0，故函数f(x)有一个唯一零点，位于(-1,0)区间内。