梅森素数的由来

早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p－1的先河。他在名著《几何原本》第九章中论述完全数时指出：如果2p－1是素数，则 2p－1（2p－1）是完全数。

1640年6月，费马在给马林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质，我相信它们将成为今后解决素数问题的基础。” 这封信讨论了形如2p－1的数。

马林·梅森是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，他与包括费马在内的很多科学家经常保持通信联系，讨论数学、物理等问题。17世纪时，学术刊物和科研机构还没有创立，交往广泛、热情诚挚的梅森就成了欧洲科学家之间联系的桥梁，许多科学家都乐于将成果告诉他，然后再由他转告给更多的人。梅森还是法兰西学院的奠基人，为科学事业做了很多有益的工作，被选为 “100位在世界科学史上有重要地位的科学家” 之一。

梅森在欧几里得、费马等人有关研究的基础上对2p－1作了大量的计算、验证，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：在不大于257的素数中，当p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 时，2p－1是素数，其它都是合数。前面的7个数（即2、3、5、7、13、17、19）已被前人所证实，而后面的4个数（即31、67、127、257）则是梅森自己的推断。由于梅森在科学界有着崇高的学术地位，人们对其断言都深信不疑。

后来人们才知道梅森的断言其实包含着若干错漏。不过他的工作却极大地激发了人们研究2p－1型素数的热情，使其摆脱作为 “完全数” 的附庸地位，可以说梅森的工作是2p－1型素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2p－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为 “梅森数”，并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2p－1。如果梅森数为素数，则称之为 “梅森素数”（即2p－1型素数）。