20度30度40度50度的角格点几何题

学习阶段：初中数学，高中数学。

前置知识：平面纯几何，三角变换与解三角形。

最近在知乎上常能见到这道题，我将在此整理出我的解答。

1. 题目

如图1所示，已知角度均已标明，要求解的是特定角度值。

2. 题目正确性分析

待求的角度有一个确定的值，并非脑筋急转弯。解决该题的关键在于利用边角关系，而非仅依赖角度。接下来，我将提供解三角形与纯几何两种解法。

3. 解三角形

设待求角度为θ，设相应边长为a，b，c，利用正弦定理可得：

ab*sin(α) = ac*sin(β)

ab*sin(β) = bc*sin(γ)

ac*sin(γ) = ab*sin(α)

通过三式相乘，得到sin(α)sin(β)sin(γ) = (sin(α))^3，进而求得θ。

4. 纯几何法

4.1 @xyan 提供的简洁纯几何法

延长BD至交点E，过C作AB垂线至F，过D作DP平行于AB，形成∠ABP=40°。DG与CF相交于G，连接CP。

易知四边形ABPD为等腰梯形，故AD=BP。∠ABD=∠BDP=∠DBP=20°，故BP=DP=AD。

由于等腰三角形ABC的三线合一，CF是AB和DP的对称轴。因此，DG=DP/2，DG⊥CF。

易知∠AEB=90°，ED=AD/2（30°角所对直角边为斜边一半），故ED=AD/2=DG；DE⊥AC，DG⊥CF，故CD平分∠ACF，各角相等为10°，故∠BCD=30°。

4.2 我的原创纯几何法

延长某一边至交点G，作该角的平分线至点H，过H作垂线至直线，取该直线中点为I，连接CI。

易知CI为30°角所对直角边的斜边一半，故四边形CI为矩形。从而得到CI。

由于I为中点，G也为中点，故CI=IG，GI=GH。由于GI平行于所求角的边，故GI平分该角，即θ。

5. 总结

这类问题被称为角格点问题，主要难点在于特殊角的构建。通用解法是解三角形，计算较为复杂；而纯几何法则更显优雅，但辅助线的构建与推理较为困难。

关联问题：这类问题通常与特定角度的构造有关，寻找边角关系是关键。