空间向量如何计算？

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.

模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a

方向相等且模相等的向量称为相等向量。

第一步：

按照图形建立三维坐标系O-xyz

之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。

第二步：

求平面的法向量：

令法向量n=（x,y,z）

因为法向量垂直于此平面

所以n垂直于此面内两相交直线（其方向向量为a，b)

可列出两个方程

n·a=0,n·b=0

两个方程，三个未知数

然后根据计算方便

取z（或x或y）等于一个数（如：1，√2等）

代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.

会求法向量后

1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.

2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，

求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a

点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.

3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量

可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积

：cos=|n·m|/(|n||m|)

那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。

4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν

则

线线平行

l∥m<=>a∥b

<=>

a=kb

线面平行

l∥α<=>a⊥μ

<=>a·μ=0

面面平行

α∥β<=>μ∥ν

<=>μ=kν

线线垂直

l⊥m<=>a⊥b

<=>a·b=0

线面垂直

l⊥α

<=>a∥μ

<=>

a=kμ

面面垂直

α⊥β<=>

μ⊥ν

<=>μ·ν=0

5.向量的坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则

1.|a|=√（x1²+y1²)

2.a+b=(x1+x2,y1+y2)

3.a-b=(x1-x2,y1-y2)

4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)

5.a·b=x1x2+y1y2

6.a∥b<=>

x1y2=x2y1(一般写为：x1y2-x2y1=0)

7.a⊥b<=>

a·b=0<=>x1x2+y1y2=0

8.cos=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2)

/

[

√(x1²+y1²)·√(x2²+y2²)

]

注：x1中的1为下标，以此类推