黎曼(Riemann)函数的定义及其分析性质

黎曼函数的定义有二，一为在实轴上，二为在闭区间内。定义1表示在整个实轴上，定义2则在闭区间上。

定义1：所有实数都能表示为既约分数，其为周期性函数，周期为1。

定义2：黎曼函数在此区间内周期性，其性质与定义1不同，仅考虑区间内的情况。

黎曼函数在无理数点连续，在有理数点不连续，且在有理数点处为单侧极限。

黎曼函数在所有无理数点连续，在所有有理数点不连续。

黎曼函数在区间上处处不可微。

黎曼函数在区间上可积，且存在分割使得可积。

黎曼函数在无理数点可积，且在有理数点不可积。