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傅里叶变换和逆变换简明推理
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本文简要复习傅里叶变换及逆变换的基础知识。
傅里叶变换的数学公式表述为:
考虑逆变换的推导,代入傅里叶展开式:
从而得到:
进一步推导后,我们得到逆变换的公式为:
在推导过程中,我们引入了广义冲激函数。此函数在x不为0时值为0,在x为0时取无穷大,且在负无穷到正无穷上的积分值为1。它是一个偶函数。
读者可能会对冲激函数的数学合理性产生疑惑。实际上,通过构造普通函数,我们可以使其极限在趋近于无穷时与冲激函数相等。
综上所述,傅里叶变换与逆变换的公式分别为:
与
其中,冲激函数在此推导过程中起到了关键作用。
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