均值不等式证明

均值不等式的证明方法繁多，其中包括数学归纳法、拉格朗日乘数法、琴生不等式法和排序不等式法等。以数学归纳法为例，首先引入一个辅助结论：

引理：如果A和B都非负，即A≥0，B≥0，那么有（A+B）n≥An + nA(n-1)B。这个引理的正确性在A和B非负的情况下比较明显，但也可以通过数学归纳法来证明，条件可以简化为A≥0且A+B≥0。

原题要证明的不等式可以转化为：(a1 + a2 + … + an)/nn ≥ a1a2…an。当n=2时，这个不等式很容易验证。

假设当n=k时，不等式成立，即（a1 + a2 + … + ak)/kk ≥ a1a2…ak。那么当n=k+1时，设a(k+1)为a1, a2,…,a(k+1)中的最大值，我们可以得到：

k * a(k+1) ≥ a1 + a2 + … + ak。设s=a1 + a2 + … + ak，则有：

[(a1 + a2 + … + a(k+1))/(k+1)](k+1) = [s/k + (k * a(k+1) - s)/(k*(k+1))](k+1)。

利用引理，我们可以进一步推导得到：

[(a1 + a2 + … + a(k+1))/(k+1)](k+1) ≥ (s/k)k * a(k+1)。

再结合归纳假设，有a1a2…a(k+1) ≤ (s/k)k * a(k+1)，从而得出结论。

另一种直观易懂的方法是琴生不等式法。琴生不等式指出，对于上凸函数f(x)，如果x1, x2,…, xn是其定义域内的任意n个点，那么f[(x1 + x2 + … + xn)/n] ≥ 1/n * [f(x1) + f(x2) + … + f(xn)]。设f(x) = ln x，这个函数是上凸增函数，因此可以应用到原问题中，得到不等式（x1 + x2 + … + xn)/n ≥ (x1x2…xn)^(1/n)。

在几何上，这个不等式可以通过射影定理在圆中的应用，证明半径不小于半弦，来直观地理解。

扩展资料

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。