电场强度与常用极限的问题

1

高斯定理，在均匀球内一点的场强等于该点以内的球体产生的场强。E=K*Q*(r^3/R^3)/r^2=KQr/R^3

2

原式=R^3[1-(L/2R)^2]^(3/2)=R^3[1-3/2*(L/2R)^2)]

3

原式=R^(-2)(1-L/2R)^(-2)=R^(-2)(1+2L/2R)=R^(-2)(1+L/R)

4

原式=1-1/2*Lcosa/R=1-Lcosa/2R

5

不知道你想问什么

a趋于0时

sina=tana=a

cosa=1-a^2/2（在取1阶近似的时候也可取1)

x趋于0时

(1+x)^n=1+nx

(1-x)^n=1-nx

ln(1+x)=x

e^x=1+x

你的2-4题就是把一个因子提出来，括号里弄成(1-x)的形式。

提个注意点，注意近似的阶数要取得一致，而不是越高越好。比如tana=sina/cosa,如果你用上面给的公式的话，也许你会认为3阶近似下tana=a/(1-a^2/2)=a(1+a^2/2)=a+a^3/2，但是这是错的，因为你如果要取3阶近似的话，必须考虑sina的3阶项，sina=a-a^3/6,代入可得tana=a+a^3/3.

(同理，这里五阶项是不能取的，取了也是错的）

2

电偶极矩的公式在远场近似下分母取最低阶近似。因为分子上r1=nL/2+R(n是方向矢量)=R+L/2cosa

也是取了一个近似的，原本表达式应为r1^2=R^2+(L/2)^2+2cosaR(L/2)，仔细分析分母的阶数的话，分母是不能取更高阶的，理由就如我上次最后说的一样。（分母如果取了L的二阶项（因为没有一阶项）的话，分子也得取到二阶项）

3

如果不是你写错了就是书上写错了，中间应该是减号(这个公式应该是计算电偶极矩的电势的，正电荷和负电荷产生的电势是反号），因此直接代入.[(R-L/2)]^(-2)=R^(-2)(1+L/R)=1/R^2+L/R^3和[(R+L/2)]^(-2)=1/R^2-L/R^3即可得到。