量子力学 高斯函数 积分计算

分享一种解法，利用高斯分布/正态分布密度函数的性质“简易”求解。设A=[1/(δ√π)]^(1/2)。

∵X~N(μ,δ²)，其密度函数f(x)=Be^[-(x-μ)²/(2δ²)]，其中B=1/[δ√(2π)]。∴∫(-∞,∞)f(x)dx=1。

(4)小题中，I4=A∫(-∞,∞)e^[-x²/(2δ²)-ikx]。

而，∵x²/(2δ²)+ikx=(x+iδ²k)²/(2δ²)+δ²k²/2，

∴I4=Ae^(-δ²k²/2)∫(-∞,∞)e^[-(x+iδ²k)²/(2δ²)]dx=(A/B)e^(-δ²k²/2)∫(-∞,∞)Be^[-(x+iδ²k)²/(2δ²)]dx。

显然，可以将"Be^[-(x+iδ²k)²/(2δ²)]"视作"X~N(-iδ²k,δ²)"的密度函数，∴∫(-∞,∞)Be^[-(x+iδ²k)²/(2δ²)]dx=1。

∴I4=(A/B)e^(-δ²k²/2)=[(√2)/A]e^(-δ²k²/2)。

供参考。