求幂级数的和函数

求幂级数的和函数是数学中一个重要的概念，通过幂级数可以表示各种函数，解决实际问题。

对于幂级数 s(x) = \sum_{n=0}^{\infty}x^n，其收敛域为 (-1, 1)。这意味着当

现在，我们来求解幂级数的和函数。设 s(x) = \sum_{n=0}^{\infty}x^n，根据幂级数的性质，我们可以对 s(x) 进行求导运算，得到 s'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}。

为了求解 s(x)，我们对 s(x) 进行变形，得到 s(x) = x\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}。这样，我们就可以利用幂级数的求导性质来简化求解过程。

接着，我们将幂级数展开并求导得到 s(x) = x\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = x\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^n

注意到幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}x^n 的和函数为 \frac{1}{1-x}。因此，我们可以进一步推导得到 s(x) = x\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}。

对 \frac{1}{1-x} 进行求导运算得到 \frac{1}{(1-x)^2}。因此，最终得到幂级数的和函数为 s(x) = x\frac{1}{(1-x)^2}。

综上所述，对于幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}x^n，其和函数 s(x) 在收敛域内为 s(x) = x\frac{1}{(1-x)^2}。这个结果不仅展示了幂级数在求和函数方面的应用，也揭示了数学中的美妙和严谨。