用数学归纳法证明

1)

n=1时，左边=a1^2b1^2、右边=a1^2b1^2，左边=右边，命题成立。

2)

假设n=k时命题成立，即(a1^2+a2^2+…+ak^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2)>=(a1b1+a2b2+…+akbk)^2。

3)

求证n=k+1时命题成立。

[a1^2+a2^2+…+ak^2+a(k+1)^2][b1^2+b2^2+…+bk^2+b(k+1)]

=(a1^2+a2^2+…+ak^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2)+(a1^2+a2^2+…+ak^2)b(k+1)^2+(b1^2+b2^2+…+bk^2)a(k+1)^2+[a(k+1)b(k+1)]^2

>=(a1b1+a2b2+…+akbk)^2+2√[(a1^2+a2^2+…+ak^2)(b1^2+b2^2+…+bk^2)]a(k+1)b(k+1)+[a(k+1)b(k+1)]^2

>=(a1b1+a2b2+…+akbk)^2+2(a1b1+a2b2+…+akbk)a(k+1)b(k+1)+[a(k+1)b(k+1)]^2

=[a1b1+a2b2+…+akbk+a(k+1)b(k+1)]^2

n=k+1时命题成立。

综上所述，对于n为正整数，都有：

(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)>=(a1b1+a2b2+…+anbn)^2

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