等差数列公式

等差数列公式详解

等差数列是一种重要的数列形式，其中每一项与前一项之间的差保持常数，这个常数称为公差。等差数列的通项公式为：a(n)=a(1)+(n-1)×d。这里，a(n)表示第n项，a(1)是首项，d是公差，n是项数。

前n项和公式为：S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2 或 S(n)=n*(a(1)+a(n))/2。这里，S(n)表示前n项和。

等差数列的前n项和公式实际上展示了梯形公式的妙用。我们可以把等差数列的前n项看作一个上底为首项、下底为末项的梯形，高为项数n。因此，等差数列的前n项和公式可简化为梯形的面积公式：[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2。

等差数列具有以下一些推论：

一. 从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数（d≠0）或常数函数（d=0），意味着由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0，a1≠0），且常数项为0。

二. 等差数列的定义、通项公式和前n项和公式还允许我们得出a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，对于所有k∈{1,2,…,n}。

三. 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列，等等。

若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)。

其他推论包括：

① 和=（首项+末项）×项数÷2

② 首项=2和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）

③ 末项=2和÷项数-首项

④ 末项=首项+（项数-1）×公差

推论3证明：

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)。证明过程基于等差数列的通项公式。

若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)。同样基于等差数列的性质。

需要注意的是，常数列不一定遵循这些规律，且m，n，p，q需为自然数。

扩展资料

等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 注意： 以上n均属于正整数。