数列的递推公式及周期性

线性齐次递推仅当特征方程有特征根满足x^k=1（k是任意整数）时有周期解，注意这里的根是复数。这要求它首先模为1，其次至少要是个代数数，第三幅角与2π的比例是个有理数。仅仅模为1是不够的，比如x^2-(1/π)x+1=0的根，不是代数数，因此也没有周期存在；再比如x^2-(1/2)x+1=0，根虽然是代数数，但幅角不满足条件，也没有周期性。

对于递推中的系数都是有理数的情况，设最高次数为n，那么可以尝试exp(i 2π/k)，其中k=1,2,...,n，如果都不是，那应该就没有周期解了。

最后，有周期解不代表实际的数列就有周期，还需要考虑初值和其他特征值的影响。如果有非周期的特征解（即有不满足条件的特征根），则解会分为周期和非周期两部分，只有非周期解的系数恰好为0时有周期性；如果所有特征解都是周期性的，但周期不同，则实际的最小正周期可能是其中的一个或多个的最大公约数。