高中椭圆方程求解

椭圆的方程是 x"/a" + y"/b" = 1，

我们一同推算，看看椭圆方程是怎么得成这样的。

椭圆 2个焦点是 ( -c，0 ) 和 ( c，0 )，

4个顶点是 ( -a，0 )、( a，0 )、( 0，-b )、( 0，b )，

椭圆的每一点，都是到 2个焦点的距离的和相等，

先看看顶点 ( 0，b ) 和焦点 ( c，0 )、( c，0 )，

顶点到两个焦点的距离和，显然就是 2√( b" + c" )，

其他点到两个焦点的距离和，就都是等于这个，

根据两点之间的距离公式，

课本上都会写出方程式，

√[ ( x + c )" + y" ] + √[ ( x - c )" + y" ] = 2√( b" + c" )

化简、整理，我们就自己来做，

【首先】

两边算平方之前，先化简，

√( x" + 2cx + c" + y" ) + √( x" - 2cx + c" + y" ) = 2√( b" + c" )

移项，

√( x" + y" + c" + 2cx ) = 2√( b" + c" ) - √( x" + y" + c" - 2cx )

【然后】

方程两边都算平方，

( x" + y" + c" + 2cx ) = 4( b" + c" ) + ( x" + y" + c" - 2cx ) - 4√[ ( b" + c" )( x" + y" + c" - 2cx ) ]

那么

4( b" + c" ) - 4cx - 4√[ ( b" + c" )( x" + y" + c" - 2cx ) ] = 0

两边除以 4，

( b" + c" ) - cx - √[ ( b" + c" )( x" + y" + c" - 2cx ) ] = 0

移项，

√[ ( b" + c" )( x" + y" + c" - 2cx ) ] = ( b" + c" ) - cx

【接下来】

方程两边再算平方，

( b" + c" )( x" + y" + c" - 2cx ) = ( b" + c" )" - 2cx( b" + c" ) + c"x"

两边除以 ( b" + c" )，

x" + y" + c" - 2cx = b" + c" - 2cx + c"x"/( b" + c" )

那么，

x" + y" = b" + x"c"/( b" + c" )

移项，

x"( b" + c" )/( b" + c" ) - x"c" /( b" + c" ) + y" = b"

那么，

x"b"/( b" + c" ) + y" = b"

【最后】

两边除以 b"，

x"/( b" + c" ) + y"/b" = 1

这样我们就看到，

因为 a" = b" + c"，

所以 x"/a" + y"/b" = 1