数列求和。如下

引理：2cot(2x) = cot x - tan x.

由倍角公式:cot(2x) = cos(2x)/sin(2x)=(cos² x-sin² x)/(2sin x*cos x)=(cot x-tan x)/2

——上下同除以sin x*cos x

故 2cot(2x) = cot x - tan x , 也即tan x = cot x - 2cot 2x .

引理证毕.

下证原题:

由数学归纳法：

1.i=0时,由引理

S0=a0=tan a =cot a - 2cot 2a , 成立.

2.假设i=n时也成立,

由引理,令x=2^(n+1)a , 则

2^(n+1) * cot(2^(n+1)*a) - 2^(n+1) * tan(2^(n+1)*a) = 2^(n+1)(cot x - tan x) = 2^(n+2)cot 2x

于是S(n+1) = Sn + a(n+1) = cot a - 2^(n+1) * cot(2^(n+1)*a) + 2^(n+1) * tan(2^(n+1)*a)

=cot a - 2^(n+2)cot 2x = cot a - 2^(n+2)cot 2^(n+2)a ,也成立.

3.由数学归纳法知,对任意的n∈N均成立.

原命题得证.