圆的切线方程求法

切线方程

切线方程研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。

中文名

切线方程

外文名

无

证明方法

向量法

类别

数学领域

证明：

向量法

设圆上一点A为（x0,y0),则该点与圆心O的向量OA（x0-a,y0-b)

因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0.

设直线上任意点B为(x,y)

则对于直线方向上的向量AB（x-x0,y-y0)

有向量AB与OA的点积

AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)

=（x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)

=(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2=0

故有(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2

分析-解析法

设圆上一点A为（x0,y0),则有：(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2

对隐函数求导，则有：

2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0

dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k

（隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程，方法相同）

或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;（k1为与切线垂直的半径斜率。）

得k=(a-x0)/(y0-b) （以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况）

所以切线方程可写为：y=(a-x0)/(y0-b)x+B

将点（x0,y0),可求出B=（x0-a)x0/(y0-b)+y0

所以:

y(y0-b)+(x0-a)x=(x0-a)x0+(y0-b)y0

(y0-b)(y-b+b-y0)+(x0-a)(x-a+a-x0)=0

(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=(x0-a)^2+(y0-b)^2

(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=R^2

当斜率不存在时，切点为与x轴平行的直线过圆心与圆的交点。

此类切点有2个，不妨设为M（a-r,b);N(a+r,b)

(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=r^2

将2点带入上式，亦成立。

故得证。

常见切线方程证明过程

圆

过圆外一点的2条切线

若点M(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,，

则过点M的切线方程为

x0 x + y0 y + D*(x+x0)/2 + E*(y+y0)/2 + F =0

或表述为：

若点M(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，

则过点M的切线方程为

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

若已知点M(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2外，

则切点AB的直线方程也为

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

椭圆

若椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在椭圆上，

则过点P椭圆的切线方程为

(x·x0)/a^2 + (y·y0)/b^2=1.★yanji

证明：

椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,切点为(x0,y0),则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 ...(1)

对椭圆求导得y'=-b^2·x/a^2·y, 即切线斜率k=-b^2·x0/a^2·y0,

故切线方程是y-y0=-b^2·x0/a^2·y0*(x-x0),将(1)代入并化简得切线方程为x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。

双曲线

若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在双曲线上，

则过点P双曲线的切线方程为

(x·x0)/a^2 - (y·y0)/b^2=1..★

此命题的证明方法与椭圆的类似，故此处略之。

抛物线

若抛物线的方程为y^2=2px（p>0）, 点P(x0，y0)在抛物线上，则

过点P的抛物线的切线方程为

y·y0 = p·（x+x0）

此命题的证明方法亦与椭圆的类似，可设切线方程为y-b=k(x-a)

联立切线与抛物线。

y=k(x-a)+b

则

[k(x-a)+b]^2-2px=0

整理得

k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0

因为为相切，所以

△=0

则(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2*(k^2a^2+b^2-2kba)=0

可求得k=p/b。

代回y-b=k(x-a)

y=p(x-a)/b+b

曲线的切线方程也可以用导数求解。

更为简便的计算方法：

设切线方程为x-a=m(y-b)，联立切线与抛物线

y^2-2pmy+2pmb-2pa=0

△=0，p^2m^2-2pbm+2pa=0，解得m=b/p

切线方程：x-a=b/p(y-b),化简得by=p(x+a)

微积分方法：

在M(a,b)点斜率为

求导：

2yy'=2p

代入点（a，b）

则y'=p/b

所以切线为：y=p(x-a)/b+b