什么样的函数是可积的？

在探讨可积函数的范畴时，首先需要理解 Riemann 积分定义中的两个关键挑战：t点选取的任意性和分割T的任意性。达布上下和与之相对，仅依赖于分割的选择，而非t点的具体取值。这使得我们能够通过“夹逼”方法，解决t的任意性问题，进而专注于达布上下和的性质。

达布上下和的性质主要包括：

1. **有界性**：由于黎曼可积函数的界性，达布上下和也表现出有界特征。

2. **单调性**：对于分割的细化，达布上和不增加，达布下和不减少，显示了一种单调性。基于这一性质，我们猜想达布上下和会收敛，并且收敛于上确界和下确界。

进一步，达布上下和及其细化分割之间的关系提供了更多性质。我们利用达布上下和的单调性和有界性，发现了一组不等式。

通过这一理解，我们引入了定理一。这一定理证明了单调有界的数列必然收敛，并且收敛值为上确界和下确界。证明过程涉及确界的概念、达布上下和与细化分割的关系理解。

接着，引入了定理二。此定理指出，要证明一个函数可积，只需证明其达布上下和收敛至同一值。这意味着证明函数在每个小区间内振幅与区间长度乘积的和趋近于零。这促使我们转向研究函数的振幅。

函数的振幅定义为函数值之差的绝对值的上确界。这一定义揭示了函数在区间内变化幅度的上限。通过证明这一上确界的存在且满足特定条件，我们最终可以判断函数的可积性。

综上所述，通过对达布上下和的深入探讨及其与函数振幅的关系，我们构建了一个严谨的框架来判断函数的可积性。这一过程不仅强调了数学概念的内在逻辑，还展示了数学分析的深度与广度。通过理解函数的振幅和达布上下和的性质，我们得以更直观地回答可积函数的本质问题，为后续的数学研究提供了坚实的理论基础。