问一个几何与代数问题

1.先给出二次曲面类型的判断方法：根据二次项前面的系数的符号(方程右边为1)

单叶双曲面 x²/a²+y²/b²-z²/c²=1 2正1负

双叶双曲面 x²/a²-y²/b²-z²/c² =1 1正2负

椭球面 x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 3正

　　　　　　　　　　　　 [1 0 0]

记a=[x,y,z]’，b=[x₁,y₁,z₁]'，A=[0 2 1]

[0 1 k]

由主轴定理，3元二次型f(x,y,z)=a’*A*a存在正交变换a=P*b(P为3阶正交矩阵)，使得

a’*A*a=b’(P’*A*P)*b=λ₁*(x₁)²+λ₂*(y₁)²+λ₃*(z₁)²

其中，λ₁, λ₂, λ₃为实对称矩阵A的3个特征值

|λ-1 0 0 |

A的特征多项式：|λ*E-A|=| 0 λ-2 -1 |=(λ-1)*[λ²-(k+2)*λ+2*k-1]

| 0 -1 λ-k|

λ₁=1，令g(λ)=λ²-(k+2)*λ+2*k-1，若为单叶双曲面，只需方程g(λ)=0有两个异号的根

由于实对称矩阵A的任一特征值都是实数，只需g(0)<0，即2*k-1<0，则k<1/2

2. 思路:(1)先将原方程中的二次型部分化成标准型

包括求出特征值，特征值所对应的特征向量，并求出正交矩阵P

(2)利用正交矩阵P，将原方程中的一次项做变量代换，再配方整理

曲面一般方程x²+y²+z²+2*x*y-2*x*z-2*y*z-2*y=0 ①

先将①式中二次型部分x²+y²+z²+2*x*y-2*x*z-2*y*z化成标准型

[ 1 1 -1]

二次型对应的矩阵A=[ 1 1 -1]

[-1 -1 1]

其特征多项式：|λ*E-A|=λ²*(λ-3)

A的特征值为λ₁=λ₂=0，λ₃=3

[-1 -1 1] [1 1 -1]

当λ₁=λ₂=0时，λ₁*E-A=[-1 -1 1]~ [0 0 0 ]

[ 1 1 -1] [0 0 0 ]

得λ₁，λ₂的线性无关的特征向量α₁=[-1,1,0]’，α₂=[1,0,1]’

[2 -1 1] [1 0 1]

当λ₃=3时，λ₃*E-A=[-1 2 1]~ [0 1 1]

[ 1 1 2] [0 0 0]

得λ₃的特征向量α₃=[1,1,-1]’

对α₁,α₂用施密特正交化方法得ξ₁,ξ₂，再将α₃单位化为ξ₃

先将α₁,α₂正交化

β₁=α₁=[-1,1,0]’

β₂=α₂-(α₂,β₁)/(β₁,β₁)*β₁=[1/2,1/2,1]’

先将β₁,β₂,α₃单位化

ξ₁=β₁/‖β₁‖=[-1/√2,1/√2,0]’

ξ₂=β₂/‖β₂‖=[1/√6,1/√6,2/√6]’

ξ₃=α₃/‖α₃‖=[1/√3,1/√3,-1/√3]’

[-1/√2 1/√6 1/√3]

取正交矩阵P=[ξ₁,ξ₂,ξ₃]=[1/√2 1/√6 1/√3]

[ 0 2/√6 -1/√3]

则P’*A*P=diag(0,0,3)

令a=[x,y,z]’，b=[x₁,y₁,z₁]'，a=P*b，则

x²+y²+z²+2*x*y-2*x*z-2*y*z=a’*A*a=b’(P’*A*P)*b=3*(z₁)² ②

而y=-1/√2* x₁+1/√6*y₁+1/√3*z₁ ③

将②③代入①显然不能得到标准方程(只含纯平方项和常数项的方程)

注意：任意二次型都可化为标准形，但含有一次项则不一定