09年四川高考题数学答案

数学（理工农医类）参考答案

一、 选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。

（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B

(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

（13） -20 （14）4 （15） （16）①②③

三、解答题

（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。

解：（Ⅰ） 、 为锐角， ，

又 ，

， ，

…………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 , .

由正弦定理 得

，即 ，

，

，

……………………………………12分

（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

事件 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是 。

…………………………………………………………6分

（Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3

,

， ，

所以 的分布列为

0 1 2 3

所以 ， ……………………12分

（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角

等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：

（Ⅰ）因为平面 ⊥平面 , 平面 ，

平面 平面 ，

所以 ⊥平面

所以 ⊥ .

因为 为等腰直角三角形， ，

所以

又因为 ，

所以 ，

即 ⊥ ,

所以 ⊥平面 。 ……………………………………4分

（Ⅱ）存在点 ,当 为线段AE的中点时，PM‖平面

取BE的中点N，连接AN,MN，则MN‖＝ ‖＝PC

所以PMNC为平行四边形，所以PM‖CN

因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

所以PM‖平面BCE ……………………………………8分

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG‖EA。从而，FG⊥平面ABCD

作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH

因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角

因为FA=FE, ∠AEF=45°,

所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF= .

FG=AF•sinFAG=

在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+ = ,

GH=BG•sinGBH= • =

在Rt△FGH中，tanFHG= =

故二面角F-BD-A的大小为arctan . ………………………………12分

解法二:

(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE 平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立

如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°.

从而， .

所以 , , .

, .

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE 平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM‖平面BCE.

M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ).

从而 = ,

于是 • = • =0

所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故PMM‖平面BCE. ………………………………8分

(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为 ，并设 =（x,y,z）.

，

即

取y=1，则x=1，z=3。从而 。

取平面ABD的一个法向量为 。

。

故二面角F—BD—A的大小为arccos 。……………………………………12分

（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。

解：（Ⅰ）有条件有 ，解得 。

。

所以，所求椭圆的方程为 。…………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 、 。

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.

将x=-1代入椭圆方程得 。

不妨设 、 ，

.

,与题设矛盾。

直线l的斜率存在。

设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。

设 、 ，

联立 ，消y得 。

由根与系数的关系知 ，从而 ，

又 ， ，

。

。

化简得

解得

（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。

解：（Ⅰ）由题意知

当

当

当 ….（4分）

（Ⅱ）因为

由函数定义域知 >0,因为n是正整数，故0

所以

（Ⅲ）

令

① 当m=0时， 有实根 ，在 点左右两侧均有 故无极值

② 当 时， 有两个实根

当x变化时， 、 的变化情况如下表所示：

+ 0 - 0 +

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

的极大值为 ， 的极小值为

③ 当 时， 在定义域内有一个实根，

同上可得 的极大值为

综上所述， 时，函数 有极值；

当 时 的极大值为 ， 的极小值为

当 时， 的极大值为

（22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）当 时，

又

数列 成等比数列，其首项 ，公比是

……………………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=

又

当

当

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知 恒成立，取n为大于1的奇数时，设

则

>

对一切大于1的奇数n恒成立

只对满足 的正奇数n成立，矛盾。

另一方面，当 时，对一切的正整数n都有

事实上，对任意的正整数k，有

当n为偶数时，设

则

<

当n为奇数时，设

则

<

对一切的正整数n，都有

综上所述，正实数 的最小值为4………………………….14分