定积分的应用

定积分的应用主要集中在计算面积、体积、弧长和旋转体的侧面积等方面。

在直角坐标系中，计算封闭图形的面积使用定积分公式：S=∫baf(x)dx。

在极坐标系中，计算封闭图形的面积使用定积分公式：S=∫2π0∫r0f(r,θ)rdrdθ。

参数方程形式的函数的参数区间内的面积使用定积分公式：S=∫ab|f(t)|dt。

参数方程与极坐标系方程间可相互转换，极坐标系到参数方程的转换使用公式：x=ρcosθ, y=ρsinθ，参数方程到直角坐标的转换使用公式：ρ=√(x^2+y^2), θ=arctan(y/x)。

例题：计算由抛物线 y^2=2x和直线y=x-4围成图形的面积。解题步骤包括分段计算、调整方程、使用定积分计算面积。

体积的计算同样通过定积分实现，绕x轴或y轴旋转的体积分别使用公式：V=∫baf(x)πdy或V=∫baf(y)πdx。

弧长的计算在直角坐标系、参数方程和极坐标系中分别使用公式：L=∫a^bf'(x)dx或L=∫a^bf'(t)dt或L=∫a^bρdθ。

旋转体的侧面积计算使用定积分公式：A=∫baf(x)√(1+[f'(x)]^2)dx。

平面截面已知的立体体积计算需要了解截面形状，再使用相应体积公式。

定积分应用的证明依赖于矩形逼近和切线近似原理，通过夹逼定理证实面积和弧长计算的正确性。