定积分求面积

在 x = x0 处的切线方程为

y = (1 / x0)x + ln(x0) - 1

切线位于指数函数曲线之上，所以围成的面积即为

(1 / x0)x + ln(x0) - 1 - lnx 对 x 的定积分。

不定积分为 (1 / x0)(1 / 2 * x^2) + ln(x0) * x - x - (xlnx) + x + C

把 2, 6 范围代入，解得定积分为

16/x0 + 4ln(x0) - 4 - (6ln6 - 4ln4) + 4

把上式对 x0 求导，得

-16/(x0^2) + 4 / x0

令此式等于0，即

-16/(x0^2) + 4 / x0 = 0

-16 + 4x0 = 0

解得 x0 = 4

也就是说

y = (1/4)x + ln4 - 1

这条切线满足围成面积最小的条件。