求函数单调区间

对于能够绘制图像的函数，我们可以通过观察其图像来确定函数的单调区间。首先，我们需要作出函数的图像。然后，观察图像中函数值随自变量变化的趋势。如果函数值随自变量的增大而增大，则该区间为递增区间；如果函数值随自变量的增大而减小，则该区间为递减区间。需要注意的是，如果函数的递增或递减区间由几个区间组成，一般情况下不能将这些区间取并集，而应该用“和”或“或”连接来表示。

例如，对于函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，我们可以通过绘制其图像来找出其递增和递减区间。通过观察图像，我们可以发现该函数在区间(-∞, 0)和(1, +∞)内递增，在区间(0, 1)内递减。

在某些情况下，如果函数解析式较为复杂，直接通过图像法难以确定其单调区间。这时，我们可以通过定义法来确定函数的单调区间。定义法的核心在于，我们需要证明函数在某个区间内是严格递增或严格递减的。具体来说，对于函数f(x)在区间(a, b)内，如果对于任意x1, x2 ∈ (a, b)，且x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则称f(x)在区间(a, b)内严格递增；如果对于任意x1, x2 ∈ (a, b)，且x1 x2，都有f(x1) > f(x2)，则称f(x)在区间(a, b)内严格递减。

以函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x为例，我们可以通过求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2来确定其单调性。通过求解f'(x) = 0，我们可以得到x1 = 1 - 1/√3，x2 = 1 + 1/√3。进一步分析f'(x)的符号，我们发现f(x)在区间(-∞, 1 - 1/√3)和(1 + 1/√3, +∞)内严格递增，在区间(1 - 1/√3, 1 + 1/√3)内严格递减。

通过以上两种方法，我们可以较为准确地确定函数的单调区间。图像法直观易懂，适用于函数图像易绘制的情况；定义法严谨精确，适用于函数解析式复杂，难以直接观察图像的情况。