关于椭圆焦三角形的总结

椭圆焦点三角形面积公式推导：s=b^2*tg(θ/2) 。

【证明】

对于焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n

则m+n=2a

在△F1PF2中,由余弦定理:

(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ

即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)

所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2

所以mn=2b^2/(1+cosθ)

S=(mnsinθ)/2.............(正弦定理的三角形面积公式)

=b^2*sinθ/(1+cosθ)

=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2

=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)

=b^2*tan(θ/2)

求一般椭圆的焦点三角形的最大角

【解】

设焦点F1，F2，椭圆上一点P，∠F1PF2=β，PF1=x，PF2=2a-x

cosβ=(x²+(2a-x)²-4c²)/2x(2a-x) =(x²-2ax+2b²)/(2ax-x²) = 1+2b²/(2ax-x²)

当x=a时，cosβ取最小值，∠F1PF2最大

此时，P位于短轴上，∠F1PF2=2arcsin(c/a)

【例题1】已知经过椭圆x^2/36+y^2/25=1的右焦点F2作直线交椭圆于点A,B,F1是椭圆的左焦点求三角形AF1B的周长.

【解】

经过椭圆x^2/36+y^2/25=1的右焦点F2作直线交椭圆于点A,B

=>AB过焦点F2，

a=6,b=5,

三角形AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=24。

【例题2】

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值.

【解】

a²=3,b²=2

c²=3-2=1

c=1

所以F1F2=2c=2

假设A在x上方，B在下方

直线过(1,0)

设直线是x-1=m(y-0)

x=my+1

代入2x²+3y²=6

(2m²+3)y²+4my-4=0

y1+y2=-4m/(2m²+3),y1y2=-4/(2m²+3)

三角形F1AB=三角形F1F2A+F1F2B

他们底边都是F1F2=2

则面积和就是高的，

即 |y1|+|y2|

因为AB在x轴两侧,所以一正一负

所以|y1|+|y2|=|y1-y2|

(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=16m²/(2m²+3)²+16/(2m²+3)

|y1-y2|=4√[m²+(2m²+3)]/(2m²+3)

=4√3*√(m²+1)]/(2m²+3)

令√(m²+1)=p

2m²+3=2p²+1

且p>=1

则p/(2p²+1)=1/(2p+1/p)

分母是对勾函数

所以p=√(1/2)=√2/2时最小

这里p>=1,所以p=1,2p+1/p最小=3

此时p/(2p²+1)最大=1/3

所以|y1-y2|最大=4√3*1/3

所以最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3