泊松方程和拉普拉斯方程

泊松方程和拉普拉斯方程是势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、热学等多种热场的研究与计算。

1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk除以它们到任意观察点P的距离rk,并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：,叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。

1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果观察点P在充满引力物质的区域内部,则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用,并指出导体表面为等热面。

静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 　若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-_V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：

式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法/米。