费马提出的所有定理及其证明

费马大定理，也称费马最后定理，乃下述定理：

当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程

xn + yn = zn.

的整数解都是平凡解，即

当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)

当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)

1963年,年仅10岁的安德鲁.怀尔斯 已经对数学深深著迷了;有一天,当他从学校漫步回家时,他决定到弥敦道上的图书馆看看, 尽管那里的图书馆和大相比,资源显得相当匮乏,但是它藏有大量智力测验的书籍, 这些书籍让怀尔斯对数学产生兴趣......,

这一天,怀尔斯被一本书所吸引住了, 那是 埃里克.坦普尔.贝尔 所写的<最后问题>(The Last Problem),它就是费玛留下没有证明的定理,因为是费玛发现的定理中一直没有被解决的定理, 所以称为最后定理;於是怀尔斯决定要解决它。 怀尔斯是一个很有抱负的孩子,在他中学时代,尽管他充满热情想要找出解答, 每一次的计算都宣告失败;他努力的从自己所学的教材中找出一点端倪, 但都毫无收获。经历了一年的失败后，他改变了策略，决定以从前数学家证明过的错误中学习有用的东西，年轻的怀尔斯仔细的研究了每一个想要破解费玛定理的数学家，他从研究历史上最富有创造力并对费玛定理有突破的数学家著手。

根据费玛留下的无整数解为出发点，约一个世纪后,欧拉修改了费玛的方法，证明了三次方也无整数解,由欧拉和费玛证明的3次和4次的证明,可以推论到3和4的倍数(3,6,9,12...)(4,8,12,16...)都能成立,剩下的必须要证明素数(质数)的成立,这样就能把无穷的整数系都得证,所以接下来只需要证明n=5,7,11,13,17,19,...的成立就能得证了。 (在此对於质数就不多做谈论)索菲.热尔曼 针对(2p+1)这样的素数,例如 5 也是这样的素数,她找出了特别的方法和高斯通信分享,证明了n=5也是成立的。 14年后,法国数学家 加布里尔.拉梅 对热尔曼的方法做了更进一步的补充,并且证明了n=7也是成立的。 接下来,还有很多的数学家都被费玛最后定理深深著迷,进而追随前人的脚步不断去将定理的证明一一找出,虽然都没能全部解开,但都为后代数学家留下更多可引用的定理,怀尔斯就是从这些数学家的错误中寻找蛛丝马迹。

1975年，安德鲁.怀尔斯在剑桥大学开始了他的研究生涯,他的导师是澳大利亚人约翰.科芡,怀尔斯受到导师的鼓励开始研究"椭圆方程式",然而他并没有发现这些成果和发表一篇篇的论文,正是在为费玛最后定理打下基础,累积经验: 虽然在当时还没有人察觉到,但是在战后日本的数学家已经做出一连串的的成果, <谷山峰 和 志村五郎> 在1986年,怀尔斯意识到有可能通过"谷山--志村猜想"证明费玛最后定理, 於是,怀尔斯开始不参加所有和费玛最后定理无关的会议,专心地自己研究, 虽然数学家不与外界交流可能犯下的错误风险很大,但是怀尔斯还是毅然决然的放弃学术会议和报告会,秘密地进行研究工作,唯一知道内幕的人只有怀尔斯的妻子内达, 经过了7年的奋战,怀尔斯完成了谷山--志村猜想的证明, 作为一个结果,历经了30年对费玛定理的梦想,现在他终於有机会对全世界发表了; 终於在1993年6月23日,在剑桥牛顿研究所举办的'L-函数和算术', 怀尔斯在此对著两百名的数学家发表他的证明,但仅仅4分之1的数学家懂怀尔斯的证明;终於怀尔斯在历经7年的孤寂后,完成了他童年的梦想。

虽然在他发表证明后,有数学家发现证明的漏洞,这使怀尔斯一度进入深渊中,但是,就在1995的5月,他总算是完整的证明了费玛最后定理, 这个历史上审核最严密的论文,共有130页,这一次不会在有错误出现了,怀尔斯再度在<纽约时报>上头版。现在,这个世纪之谜已经完全解开了, 对於全世界的数学家来说,像是一个令人神往的梦想被打断了, 对於怀尔斯本人也有一种失落感,虽然解开了谜底,也失去了一个追寻的梦想, 不过,对於费玛所说的"美妙的证明",在17世纪当时并没有那麼多的定理来证明,所以数学家们依然有个梦想,要追寻费玛最初的定理证明。