高一数学与平面向量有关的三角形问题

设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)

重心为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)

内心：

设A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，AB=c,BC=a,AC=b,内心为I，AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB与F

由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a

由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD*DI/IA=1

b/a*(b+c)/b*DI/IA=1

DI/IA=a/(b+c)

DI=IA*a/(b+c)

BD=c/b*DC

D

((x2+c/b*x3)/(1+c/b),(y2+c/b*y3)/(1+c/b))

(bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)

Xi=[(bx2+cx3)/(b+c)+a/(b+c)*x1]/[1+a/(b+c)]

Yi=[(cy2+by3)/(b+c)+a/(b+c)*y1]/[1+a/(b+c)]

I((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c))

垂心：

A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，垂心H(x0,y0)

用斜率是负倒数关系Kbc=y3-y2/x3-x2

Kah=y1-y0/x1-x0

Kah=-1/Kbc

得到方程(y3-y2)/(x3-x2)=-(x1-x0)/(y1-y0)

同理可得方程(y2-y1)/(x2-x1)=-(x3-x0)/(y3-y0)

解出x0,y0即可；

外心：

(x0-x1)^2+(y0-y1)^2=(x0-x2)^2+(y0-y2)^2=(x0-x3)^2+(y0-y3)^2

解方程即可