杨氏不等式、赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式

在向量范数的学习中，闵可夫斯基不等式起到关键作用。证明闵可夫斯基不等式的第一步是掌握赫尔德不等式，而要理解赫尔德不等式，杨氏不等式则是不可或缺的基础。

杨氏不等式指出：当所有非负实数a和b满足一定条件时，它们的几何平均值小于等于它们的算术平均值。等号成立的条件是a和b相等。

在证明杨氏不等式的过程中，通过分析不同情况，即当a或b为零时直接得出结论，当a和b不为零时通过代数操作最终得到不等式成立。

进一步，赫尔德不等式在证明中作为关键步骤出现。它表明，当两个数列满足一定条件时，它们的乘积的算术平均值小于等于它们的几何平均值的幂次方。证明过程中，利用杨氏不等式作为基础，通过数学归纳和操作，最终证得赫尔德不等式。

最后，闵可夫斯基不等式在向量范数的证明中发挥重要作用。它指出当两个向量满足一定条件时，它们的和的范数小于等于单个向量范数的和。证明过程中，基于赫尔德不等式的应用，通过数学推导和操作，最终证明了闵可夫斯基不等式的正确性。