一元二次方程根的取值范围

[解] 先看mx^2 + (2m+3)x + 1-m = 0 的判别式 (2m+3)^2 - 4m(1-m) = 8m^2 + 8m + 9 其判别式 8^2 - 4*8*9 < 0 所以 8m^2 + 8m + 9 恒正 这表示mx^2 + (2m+3)x + 1-m = 0 必有两相异实数解 因为 -3 < x1 < 4 且 -5 < x2 < 2 所以 -8 < (x1+x2) < 6 且 -20 < x1x2 < 15 由韦达定理 x1+x2 = -(2m+3)/m 且 x1x2 = (1-m)/m 所以 -8 < -(2m+3)/m < 6 且 -20 < (1-m)/m < 15 (a) -8 < -(2m+3)/m < 6 由 -8 < -(2m+3)/m 解得 m < 0 or m > 1/2 由 -(2m+3)/m < 6 解得 m < -3/8 or m > 0 所以(a)的解为 m < -3/8 or m > 1/2 (b) -20 < (1-m)/m < 15 由 -20 < (1-m)/m 解得 m < -1/19 or m > 0 由 (1-m)/m < 15 解得 m < 0 or m > 1/16 所以(b)的解为 m < -1/19 or m > 1/16 (a)(b)为交集的关系，所以合解为 m < -3/8 or m > 1/2 此为 -3 < x1 < 4 且 -5 < x2 < 2 的必要条件。 因为别的x1和x2的条件也可能求得此结果，所以只有必要条件，没有充要条件。 (1)韦达定理仍然有效，由x1和x2的范围来看，不一定x1比x2大。例如x1=-2，x2=1仍然符合。 (2)不可x1取正，x2取负，理由同(1)。 2013-03-14 21:13:50 补充： 韦达定理怎会使范围扩大呢？ 韦达定理是根与系数的关系，是根据根的范围而定的，不会有扩大或缩小范围的情形发生。韦达定理对任何多项式方程式都是成立的，不然在数学上怎么能够被称为"定理"呢？ 你所谓韦达定理会使范围扩大，要有理由或例证来支持你的说法才算成立。 韦达定理和任何求根公式也不会相违背，如果你认为有违背，也请说出理由或举出例证，我们再来讨论。 2013-03-16 22:16:19 补充： 我了解你的意思了，也发现问题之所在了。 我推出的 -8 < x1 + x2 < 6 和 -20 < x1x2 < 15 是各别成立的，但无法同时成立。也就是说 当 x1 + x2 为最大值 6 时，x1x2 得不到最大值 15，因为此时 x1x2 = 8 同样的，当 x1x2 为最大值 15 时，x1 + x2 也得不到最大值15，因为此时 x1 + x2 = -8，就是问题所在。因此你说得对，这种情况下必须用求根的方式作。 至于韦达定理并非无效，而是因为无法取出适当的范围给韦达定理取值，因此无法直接用韦达定理解题。