极限的数列极限

设{xn}为一无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。记作 或 。

如果上述条件不成立，就说数列{xn} 发散。 1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项 与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意地小，说明xn与常数a可以接近到任何程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它来求出N。又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都是任意小的正数，因此可用它们代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数。另外，定义中的 也可改写成 。

2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的（比如若n>N使 成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使 成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。另外，定义中的n>N也可改写成n≥N。

3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式 成立”意味着：所有下标大于N的 都落在（a-ε，a+ε）内；而在（a-ε，a+ε）之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。 1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；

2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。

但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……，(-1)n+1 ，……

3、保号性：若 （或<0），则对任何 （a<0时则是 ），存在N>0，使n>N时有 （相应的 ）。

4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数 ，使得当n>N时有 ，则 （若条件换为 ，结论不变）

5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列 也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。 设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有 ，这样的数列 便称为柯西数列。

这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即互为充分必要条件。