高数笔记1 —— 数列的极限

定义：数列是由一系列确定的实数按照顺序排列而成，用公式表示为数列[公式]，简记为数列[公式]。

简单理解：数列[公式]就是一系列按照下标从小到大排列的实数。

观察数列[公式]的几何图像，将公式对应该点在x轴的位置，将实数公式对应该点在y轴的位置，从而形成一组离散点。

定义：设数列[公式]，如果存在常数[公式]，对于任意给定的正数[公式]（无论多小），总能找到一个正整数[公式]，使得当[公式]时，不等式[公式]都成立，那么称常数[公式]为数列[公式]的极限或数列[公式]收敛于[公式]，记为[公式]或[公式]。如果不存在这样的常数[公式]，数列[公式]就发散或[公式]不存在。

定义翻译：从第[公式]项开始，[公式]与[公式]的误差小于任意正数[公式]（哪怕取无穷小），且不论[公式]多小都满足。这意味着数列收敛于[公式]。

数学解释：若两个实数a与b之间无法找到一个常数c，即常数a与b的绝对值等于无穷小，则可说明a=b。

几何解释：当[公式]时，数列从第[公式]项之后的点都落在[公式]与[公式]之间，即两个红线中间，数列收敛。

唯一性定理：如果数列[公式]收敛，那么它的极限是唯一的。

有界性定理：如果数列[公式]收敛，那么数列[公式]一定有界。

保号性定理：如果[公式]，且[公式]（或[公式]），那么[公式]，当[公式]时，都有[公式]（或[公式]）。

收敛数列的性质：推论1，从某项起[公式]（或[公式]），且[公式]，则[公式]（或[公式]）。

推论2，如果数列[公式]与数列[公式]从某项起[公式]（且数列[公式]与数列[公式]收敛），则[公式]。

关系定理：如果数列[公式]收敛于[公式]，那么它的任意子数列也收敛，且极限也是[公式]。

注意：以上内容为概述与解释，可能略显简略，具体数学证明与推导需进一步深入学习与理解。