数列极限证明

用单调有界定理

令a1=2^0.5,

则a(n+1)=(2+an)^0.5

先证an递增，又有上界

先用数归证

2^0.5<=an<2

1.显然n=1时满足

2.假设n=k满足，即2^0.5<=ak<2

3.n=k+1,a(k+1)=(2+ak)^0.5

2<=2+2^.5<2+ak<2+2=4

所以2^0.5<=(2+ak)^0.5<4^0.5=2

所以2^0.5<=a(k+1)<2

4.所以对任意自然数n，都有2^0.5<=an<2

所以数列有界

下证其单调增

a(n+1)-an=(2+an)^0.5-an

分子有理化

=[(2+an)^0.5-an][(2+an)^0.5+an]/[(2+an)^0.5+an]

=2/[(2+an)^0.5+an]>0

所以a(n+1)>an

所以数列单调增

所以数列an是一单调有界数列

由单调有界定理可知必然存在极限

且极限a=lim n->∞ an满足

a=(2+a)^.5

a^2-a-2=0

a=2(舍去-1，因为an>2^.5)